果壳网和matrix67的小失误

纯无聊较真的文章。

果壳网的测试[1]里有一道题:四维立方体由几个三维立方体组成?

matrix67也写过一篇文章[2],其中说:“四维立方体是由8个大小相同的三维立方体组成”。

让人很疑惑,四维应该是多少个三维都填不满的,就像可数个一维线段肯定填不满二维正方形一样(证明很简单,随便选正方形中一条线段,有不可数个点,但它和可数个线段至多交于可数个点,这个证明可以推广到N维,只是说法上不那么直观)。

matrix67一开始对此的类比例子是:正方体盒子展开了是6个正方形。这就指出了问题所在:6个二维里的正方形组成了三维里的正方体的表面,而不是这个正方体本身。

所以这道题的“正确”(直观)表述是:四维超立方体的“表面”由几个三维立方体组成。

注意立方体和超立方体[3]的区别。前者指三维对象,后者是一般的N维对象。前者有直观感受,很好理解;而后者需要数学定义[4],任何研究都应该从定义出发而不要套用任何现实经验。

参考:
[1] 果壳青年谱系测试. http://youth.guokr.com/
[2] 不同维度的对话:带你进入四维世界. http://www.matrix67.com/blog/archives/1323
[3] Hypercube. http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercube
[4] 徐俊明. 组合网络理论. 科学出版社, 2007.6

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